平面の方程式

参考書によると「三次元空間に存在する平面は、以下のような方程式で表現される」らしい
\color{white} ax+by+cz+d=0
なんでこうなるのか?

三次元空間における平面は、三つのベクトル \color{white} \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} と二つのパラメータ \color{white} s, t で表される。二つのベクトル \color{white} \vec{b}, \vec{c} を含む平面は \color{white} s\vec{b}+t\vec{c} の形で表される。
この平面を\color{white} \vec{a}だけ平行移動した平面は\color{white} \vec{P}=\vec{a}+s\vec{b}+t\vec{c}とパラメータ表示される。つまり\color{white} \vec{P}はこの平面上の任意の点を表すベクトルである。
さて、\color{white} \vec{P}\color{white} \vec{P_0}をこの平面上の点を表すベクトルとする。この平面に垂直なベクトル\color{white} \vec{N}\color{white} \vec{P}\color{white} \vec{N}\color{white} \vec{P_0}内積はそれぞれ\color{white} \vec{N} \cdot \vec{P}=0\color{white} \vec{N} \cdot \vec{P_0}=0となる。\color{white} \vec{N} = (a \quad b \quad c)\color{white} \vec{P} = (x \quad y \quad z)\color{white} \vec{P_0} = (x_0 \quad y_0 \quad z_0)とすると\color{white} \vec{N} \cdot \vec{P}=\vec{N} \cdot \vec{P_0}より\color{white} ax+by+cz=ax_0+by_0+cz_0、右辺を\color{white} dと置くと\color{white} ax+by+cz=dとなり、これを平面の方程式という。\color{white} d=0 なので(これが理由かは自信がない^^;)\color{white} ax+by+cz+d=0とも書ける。